El modelo input-output de W. Leontief aplica matrices y sistemas lineales a una economía dividida en n sectores productivos, registrando sus intercambios durante un periodo.
Tabla input-output
Para cada periodo, xᵢⱼ representa lo que el sector i vende al sector j; Dᵢ la cantidad del sector i demandada por el sector de demanda final; e Iᵢ los inputs primarios utilizados por el sector i.
| Input / Output | 1 | 2 | … | n | Demanda final | Output total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | x₁₁ | x₁₂ | … | x₁ₙ | D₁ | X₁ |
| 2 | x₂₁ | x₂₂ | … | x₂ₙ | D₂ | X₂ |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋱ | ⋮ | ⋮ | ⋮ |
| n | xₙ₁ | xₙ₂ | … | xₙₙ | Dₙ | Xₙ |
| Input primario | I₁ | I₂ | … | Iₙ | ||
| Input total | X₁ | X₂ | … | Xₙ |
Qué representa cada magnitud
- Output total: producción total de cada sector productivo.
- Demanda final: agrupa, entre otros, sector público y comercio exterior.
- Input primario: agrupa importaciones, fuerza de trabajo, beneficios y ahorros de las empresas, entre otros.
- Input total: adquisiciones totales de cada sector productivo.
Se definen la matriz intersectorial M=(xᵢⱼ), el vector de demanda final D y el vector de producción total X.
Las dos hipótesis del modelo
1. Todo lo que se produce es consumido
Además, los inputs totales de cada sector coinciden con sus outputs totales. Los apuntes interpretan esta igualdad como que los datos están expresados a precio de fábrica.
2. Proporcionalidad constante entre input y output
Los coeficientes aᵢⱼ son constantes en el tiempo en el modelo y dependen solo de la tecnología. Se denominan coeficientes técnicos.
Matriz de coeficientes técnicos
La matriz A=(aᵢⱼ) ∈ Mn(ℝ) se llama matriz de coeficientes técnicos o matriz input-output. El coeficiente aᵢⱼ representa lo que el sector i vende al sector j para que este produzca una unidad.
Matriz de Leontief e inversa de Leontief
Al sustituir xᵢⱼ=aᵢⱼXⱼ en las identidades de producción se obtiene:
equivalentemente:
La matriz I−A se denomina matriz de Leontief. Si es invertible:
y (I−A)−1 se llama matriz inversa de Leontief. Estas dos ecuaciones caracterizan el modelo en los apuntes.
Utilidad del modelo
Dada una demanda final proyectada, el modelo permite predecir la producción necesaria para satisfacerla. A la inversa, dada una producción de los sectores, permite determinar la demanda final que puede abastecer.
Interpretación económica de la inversa de Leontief
Para dos escenarios (X,D) y (X′,D′):
Restando:
y, si existe la inversa:
Si (I−A)−1=(cᵢⱼ) y ΔD es un vector con un 1 en la posición j y ceros en las demás, entonces ΔX es la columna j de la inversa. Por tanto, cᵢⱼ es el incremento necesario de la producción del sector i para que el sector j suministre una unidad adicional a la demanda final, manteniendo constantes los suministros de los demás sectores a la demanda final.
Preguntas frecuentes
¿Qué representa xᵢⱼ?
Lo que el sector i vende al sector j durante el periodo considerado.
¿Qué es un coeficiente técnico aᵢⱼ?
La cantidad que el sector i aporta al sector j por cada unidad producida por j, bajo la hipótesis de proporcionalidad del modelo.
¿Qué es la matriz de Leontief?
La matriz I−A.
¿Para qué sirve la inversa de Leontief?
Permite obtener la producción total X a partir de la demanda final D mediante X=(I−A)⁻¹D y cuantificar efectos marginales entre sectores.
Ejemplo numérico y orientación correcta del modelo de Leontief
En un ejemplo de dos sectores:
A=[[0.3,0.4],[0.5,0.3]],\nX=(200,160)^T,\nD=(76,12)^T.
Con vectores columna, la identidad correcta es:
AX+D=X\nD=(I-A)X\nX=(I-A)^-1D.
Es importante no escribir D=X(I-A): esa orientación corresponde a otra convención y, con X columna, ni siquiera es el producto matricial utilizado aquí.
Interpretación: a_ij mide la cantidad del sector i necesaria por unidad de producción del sector j; la inversa de Leontief incorpora efectos directos e indirectos de una variación de la demanda final.