El lote termina estudiando cuándo un sistema cuadrado puede admitir soluciones no negativas, mediante el teorema de Hawkins-Simon.
Hipótesis sobre la matriz E
Sea E=(eᵢⱼ) ∈ Mn(ℝ), con eᵢⱼ ≤ 0 cuando i≠j.
Condición de Hawkins-Simon
Se consideran los menores principales iniciales:
Los apuntes denominan E₁,…,Eₙ menores principales de E.
Afirmaciones equivalentes del teorema
- E verifica la condición de Hawkins-Simon: E₁>0, E₂>0, …, Eₙ>0.
- El sistema EX=D admite una solución no negativa X≥0 para alguna D>0.
- El sistema EX=D admite una solución no negativa X≥0 para toda D≥0.
- Existe E−1 y E−1≥0 elemento a elemento.
Esta condición encaja con el modelo de Leontief porque permite estudiar cuándo una demanda no negativa es compatible con niveles de producción no negativos.
Preguntas frecuentes
¿Qué exige Hawkins-Simon a los menores principales?
Que los menores principales indicados en los apuntes sean estrictamente positivos.
¿Qué significa E⁻¹≥0?
Que todos los elementos de la matriz inversa son no negativos.
¿Qué relación tiene con sistemas EX=D?
Bajo las hipótesis del teorema, la condición es equivalente a la existencia de soluciones X no negativas para demandas D no negativas, en los términos recogidos en los apuntes.