Funciones de varias variables: dominio, recorrido, gráfica y curvas de nivel
Qué es una función de ℝⁿ en ℝᵐ y una función real de varias variables, con dominio, recorrido, gráfica y curvas de nivel.
Funciones de ℝⁿ en ℝᵐ
Los apuntes definen una función de ℝⁿ en ℝᵐ como una aplicación F definida en un subconjunto D de ℝⁿ que asigna a cada x=(x₁,…,xₙ)∈D un único elemento F(x)=(F₁(x),…,Fₘ(x))∈ℝᵐ.
x=(x₁,…,xₙ) ↦ F(x)=(F₁(x),…,Fₘ(x))=(y₁,…,yₘ)
x₁,…,xₙ.
y₁,…,yₘ, determinadas por F.
El material señala que el estudio de F puede reducirse, en cierta medida, al estudio de sus componentes F₁,…,Fₘ, que son funciones de ℝⁿ en ℝ.
Funciones reales de n variables reales
Cuando m=1 se obtiene una función real de n variables reales:
x=(x₁,…,xₙ) ↦ f(x)=f(x₁,…,xₙ)=y
En este caso x₁,…,xₙ son las variables independientes y y es la variable dependiente.
Funciones de dos variables
Para n=2 y m=1, la notación es:
(x,y) ↦ f(x,y)=z
La función relaciona (x,y) con z; x e y son independientes y z depende de ambas.
Dominio y recorrido
El dominio es el conjunto D en el que está definida la función:
El rango, imagen o recorrido es el conjunto de valores que toma la función cuando (x,y) recorre el dominio:
Gráfica o grafo
Para una función real de dos variables, el gráfico es el conjunto de puntos del espacio:
Por tanto, representa una superficie de ℝ³.
Curvas de nivel
Como dibujar toda la superficie puede ser complicado, los apuntes proponen trabajar con curvas de nivel. Para un valor k, una curva de nivel reúne los puntos del dominio cuya imagen es k:
Un mapa de nivel representa varias curvas de nivel correspondientes a distintos valores de k.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre dominio y recorrido?
El dominio contiene los valores de entrada admitidos; el recorrido contiene los valores de salida que realmente toma la función.
¿Qué representa la gráfica de una función de dos variables?
El conjunto de puntos (x,y,f(x,y)) en ℝ³, es decir, una superficie.
¿Para qué sirven las curvas de nivel?
Permiten visualizar la función en el plano reuniendo puntos que tienen la misma imagen.
Continúa con el grado de homogeneidad, el Teorema de Euler y su aplicación a elasticidades y rendimientos a escala. Abrir Tema 3 →