19 ejercicios de función compuesta, implícita e inversa resueltos
Regla de la cadena, diferenciales, función inversa y derivación implícita con aplicaciones económicas resueltas paso a paso y ampliadas con la fuente 2015-16.
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Ejercicio 1: Composición y descomposición de funciones
a) g(u)=u²+3u+1, h(x)=x+1: hallar g(h(x)). b) f(x)=5/(x−2)+4(x−2)³: hallar g,h con f=g∘h.
Ejercicio 2: Regla de la cadena en tres composiciones
a) y=2x⁴, x=6−t³: calcular dy/dt en t=1. b) z=x²y−y², x=sen t,y=e^t: dz/dt en t=0. c) z=e^{xy}, x=3t+2u,y=4t−2u: z_t y z_u en t=1,u=0.
Ejercicio 3: Diferencial de w=f(u,v) con variables intermedias
w=f(u,v), u=x²+2yz, v=y²+2zx. Hallar w_x,w_y,w_z; du,dv; y dw en función de dx,dy,dz.
Ejercicio 4: Segundas derivadas de F(x,y)=f(1/x−1/y)
F(x,y)=f(u), u=1/x−1/y. Calcular F_x,F_y,F_xx,F_xy=F_yx,F_yy.
Ejercicio 5: Derivadas de z=f(x+ay)+g(x−ay)
z=f(x+ay)+g(x−ay), a constante. Calcular z_x,z_y,z_xx (y, como ampliación útil, z_xy,z_yy).
Ejercicio 6: Diferencial de una composición con datos de f_u y f_v
z=f(u,v), u=x²+y, v=y−x². Hallar dz en x=1,y=1 sabiendo f_u(2,0)=3 y f_v(2,0)=−1.
Ejercicio 7: Taylor de primer orden en una función compuesta desconocida
z=f(x+2t,y+t). En (u,v)=(3,2): f=1,f_u=5,f_v=−3. a) Hallar dz en (x,y,t)=(1,1,1). b) Aproximar z(1,1,0,8).
Ejercicio 8: Función inversa de un coste cúbico y aproximación cerca de C=12
C(x)=x³−2x²+x, x>1. a) Representar C y su inversa x(C). b) Comentar si puede obtenerse expresión exacta. c) Hallar x′(C),x″(C). d) Aproximar x(C) cerca de C=12.
Ejercicio 9: Verdadero o falso sobre funciones inversas e implícitas
Razonar afirmaciones sobre dos funciones inversas y dos funciones implícitas. En las implícitas, calcular además las parciales z_x y z_y en los puntos indicados: e^z+z+xy+2=0 en (−1,3,0) y x²+3xy+y²+2z²−xyz−6=0 en (1,1,1).
Ejercicio 10: Derivación implícita y Taylor de xy−e^y+e^{x+1}=0
y se define por xy−e^y+e^{x+1}=0. a) ¿Puede despejarse? b) Hallar y′,y″ y condición. c) y′(0),y″(0). d) Taylor alrededor del origen.
Ejercicio 11: Parciales de z definida por una ecuación cúbica
z=z(x,y) implícita en y³+2x³+z³−3xyz−2x+3=0. Hallar z_x,z_y.
Ejercicio 12: Parciales de z en e^z+x²y+z+5=0
z=f(x,y) definida implícitamente por e^z+x²y+z+5=0. Hallar z_x,z_y.
Ejercicio 13: Diferencial y linealización de x+y+z=sen(xyz)
z=f(x,y) definida por x+y+z=sen(xyz). Calcular dz(0,0) y una expresión lineal de z cerca del origen.
Ejercicio 14: Dos ramas implícitas en x²+y²+3z²−2x+2z=0
Revisión documental
z está definida implícitamente por x²+y²+3z²−2x+2z=0. Calcular parciales de primer orden en (x,y)=(1,1).
Ejercicio 15: Parciales de z en y=xf(z)+g(z)
z(x,y) queda definida por y=xf(z)+g(z), con f,g diferenciables. Hallar z_x,z_y.
Ejercicio 16: Parciales de z cuando F(x−z,y−z)=0
z=f(x,y) está definida implícitamente por F(x−z,y−z)=0. Hallar z_x,z_y.
Ejercicio 17: Productividades marginales de una producción implícita
La producción z satisface z²+4x²+5y²−12xy=0. Calcular productividades marginales y estudiar si los factores son normales o sustitutivos.
Ejercicio 18: Elasticidades de una demanda implícita
F(q,p1,p2,y)=10p1q+5q−2p2−4y−18=0 define q=q(p1,p2,y). Hallar elasticidades respecto a precio propio, precio relacionado e ingreso en (2,1,10); clasificar los bienes; repetir despejando q.
Ejercicio 19: Pendiente y coste de oportunidad en una FPP
4x³+3y²=500 es una frontera de posibilidades de producción. Hallar dy/dx y el coste de oportunidad de producir una unidad más de x a partir de x=2.