17 ejercicios de funciones homogéneas resueltos
Homogeneidad, Teorema de Euler, elasticidades, ilusión monetaria y rendimientos a escala en ejercicios matemáticos y económicos.
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Ejercicio 1: Clasificar seis funciones por homogeneidad y verificar con Euler
Estudiar homogeneidad de: a) x/y². b) x²/y+x+y²/(x+y). c) 3e^x+3e^y. d) 6ln(3^(−2x))−ln(4^(−5y)). e) x^a f(y/x). f) x^m f(y/x)+x^n g(x/y).
Ejercicio 2: Grado de una función y homogeneidad de su derivada
z(x,y)=y^(−n/a)(x^n+xy^(n−1))^(1/a). a) Estudiar homogeneidad. b) Calcular z_x y su grado. c) Hallar xz_x+yz_y.
Ejercicio 3: Usar homogeneidad de grado 1/3 sin conocer la función
f homogénea de grado 1/3 y f(2,4)=6. a) f(1/2,1). b) f_x(1,2)+2f_y(1,2). c) Si f_x(1,2)=1, hallar f_xx(1,2)+2f_xy(1,2).
Ejercicio 4: Escalado de una derivada mixta de una función homogénea
h(u,v) homogénea de grado 3, h_u(1,1)=7 y h_uu(1,1)=6. Hallar h_uv(4,4).
Ejercicio 5: Identidad de segundo orden sin calcular parciales
z=yf(y/x)+xg(x/y). Comprobar homogeneidad y hallar x²z_xx+2xyz_xy+y²z_yy sin calcular las derivadas.
Ejercicio 6: Compatibilidad de parciales propuestas
¿Puede existir una función homogénea f(x,y) con f_x=4xy y f_y=6x⁴+3y³+2xy? Razonar.
Ejercicio 7: Homogeneidad de u=a x^b y^c
u(x,y)=a x^b y^c. a) Relación para ser homogénea. b) Para grado 1. c) Aplicar Euler.
Ejercicio 8: Verdadero o falso sobre propiedades de funciones homogéneas
Razonar: a) si f es de grado 1 entonces x²f_xx=y²f_yy. b) producto de grados m,n tiene grado m+n. c) si f,g son grado 3, f/g+9 es grado 0. d) si Q(K,L) es homogénea entonces LQ_L+KQ_K=KQ.
Ejercicio 9: Homogeneidad de P=TK ln(K/T)
P=TK ln(K/T), donde P producción, K capital y T trabajo. Comprobar homogeneidad de dos formas.
Ejercicio 10: Producción implícita 100=f((Q−L)/K)
Q=Q(K,L) satisface 100=f((Q−L)/K). a) Hallar Q_K,Q_L. b) Estudiar homogeneidad y efecto de aumentar K,L un 30%. c) Si Q(10,20)=520, hallar marginales e interpretar; aproximar Q(9,21).
Ejercicio 11: Homogeneidad de BL^α f(K^β/L^β)
Q=B L^α f(K^β/L^β), con L≠0. Hallar mediante Euler la relación entre α y β para que sea homogénea cualquiera que sea f, el grado y los rendimientos a escala.
Ejercicio 12: Homogeneidad de una función CES
Q(x,y)=(a x^(−c)+b y^(−c))^(−1/c), a,b,c>0. Analizar el efecto de variar proporcionalmente x,y y atribuir una propiedad.
Ejercicio 13: Cobb-Douglas, elasticidades y rendimientos a escala
Q(K,L)=AK^αL^β. a) Demostrar homogeneidad por Euler. b) Relacionar suma de elasticidades y rendimientos crecientes. c) Generalizar a Cobb-Douglas. d) Discutir funciones homogéneas y no homogéneas.
Ejercicio 14: Rendimientos y productividades marginales de una función con K/L
Q(K,L)=αL+gK−αL e^(−aK/L), con a,g>0. a) Rendimientos a escala. b) Marginales en función h=K/L. c) Comprobar distribución de Euler.
Ejercicio 15: Suma de elasticidades en una oferta homogénea
Q=6p_A²−2p_B²−p_Ap_B. Demostrar sin calcular elasticidades individuales que la suma de elasticidad propia y cruzada es igual al grado de homogeneidad.
Ejercicio 16: Homogeneidad de una demanda y existencia de ilusión monetaria
D(r,p,p1,p2)=r^{1/5}·ln(p1p2/p²), donde r es renta y p,p1,p2 son precios. Estudiar qué ocurre ante una misma variación proporcional t en todas las variables y si existe ilusión monetaria.
Ejercicio 17: Producción implícita 1000=f((Q−L²)/K²): marginales, homogeneidad y rendimientos a escala
Q=Q(K,L) viene definida implícitamente por 1000=f((Q−L²)/K²), con f derivable. a) Calcular Q_K y Q_L. b) Estudiar si Q es homogénea. c) Determinar exactamente qué ocurre al aumentar K y L un 30 %. d) Interpretar los rendimientos a escala. e) Calcular Q_LK y clasificar la relación entre los factores.