13 ejercicios de integrales impropias y dobles resueltos
Integrales impropias, excedentes, valor actual, capitalización, integrales dobles, cambio de orden y probabilidad resueltas paso a paso.
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Ejercicio 1: Doce integrales impropias: convergencia y valor
Resolver 12 integrales impropias del ejercicio 1, con infinitos, singularidades en 0 y parámetros p.
Ejercicio 2: Verdadero o falso sobre integrales impropias
Razonar: a) toda función no negativa tiene área infinita en [0,∞). b) ∫_0^∞ x e^(−x)dx=1. c) el cambio x=y² permite concluir ∫_0^1 dx/x=0. d) ∫_0^1 senx/x dx es impropia.
Ejercicio 3: Densidad exponencial: probabilidad y esperanza
f(t)=(1/7)e^(−t/7) para t≥0 y 0 para t<0. a) Probar que integra 1. b) Hallar P(0≤t≤5). c) Hallar E[t].
Ejercicio 4: Valor actual de un flujo perpetuo I(t)=t²
VA=∫_0^∞ I(t)e^(−rt)dt. Para I(t)=t² y r=0,3, calcular VA y estudiar qué ocurre si aumenta r.
Ejercicio 5: Coste de capitalización de un activo a 5 años y perpetuo
C=C0+∫_0^n C(t)e^(−rt)dt, C0=6500 €, C(t)=250(1+0,8t), r=0,2. Hallar n=5 y n→∞.
Ejercicio 6: ¿Una integral doble es el producto de dos integrales simples?
Razonar si es verdadero o falso que una integral doble es el producto de dos integrales simples.
Ejercicio 7: Cuatro integrales dobles calculadas en dos órdenes
Calcular: a) ∬(x²+xy) en rectángulo 0≤x≤3,1≤y≤4. b) ∬(x+y)³ en triángulo limitado por y=0,x=1,x=y. c) ∬y(x³+1) en cuarto de disco x,y≥0,x²+y²≤1. d) ∬x⁹y² en triángulo x,y≥0,x+y≤1.
Ejercicio 8: Cambiar el orden de integración en tres recintos
Cambiar el orden de: a) ∫_0^2∫_x^{2x} f(x,y)dydx. b) ∫_{−1}^1∫_{−√(1−u²)}^{√(1−u²)} f(u,v)dvdu. c) ∫_1^c∫_0^{ln p} f(p,q)dqdp, c>1.
Ejercicio 9: Recintos, cambio de orden y valor de dos integrales dobles
Para I1=∫_1^2∫_{1/x}^x x²/y² dy dx e I2=∫_1^4∫_0^{ln x} x dy dx: a) dibujar recinto, b) cambiar orden, c) resolver.
Ejercicio 10: Utilidad media sobre el triángulo x+y≤1
u=x²y³, x,y≥0 y x+y≤1. Hallar la utilidad media del consumidor en el recinto.
Ejercicio 11: Probabilidad de que el tiempo total de espera no supere 10 minutos
X tiempo en banco, Y tiempo en gestoría, densidad conjunta f(x,y)=1/200·e^(−x/10−y/20) para x,y≥0. Hallar P(X+Y≤10).
Ejercicio 12: Excedente del consumidor con demanda D(p)=500/p²
Un producto se vende a p=2 € y D(p)=500/p². Calcular EC=∫_p^∞D(u)du.
Ejercicio 13: Excedentes con S(p)=5p²−125 y D(p)=37500/p²
S(p)=0 para p<5 y S(p)=5p²−125 para p≥5; D(p)=37500/p². Comprobar p₀=10 y calcular EP=∫₀^{p₀}S(p)dp y EC=∫_{p₀}^∞D(p)dp.