19 ejercicios de integral de Riemann resueltos
Integrales, áreas, funciones marginales, valores medios, costes y excedentes económicos resueltos paso a paso.
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Ejercicio 1: Verdadero o falso sobre primitivas e integral definida
Razonar: a) la primitiva de una función integrable es única. b) si f′=g′ entonces f=g. c) ∫_a^b f(x)dx es una función de x. d) si f es continua, la integral siempre representa el área geométrica entre curva y eje.
Ejercicio 2: Doce integrales indefinidas y definidas
Resolver las 12 integrales del ejercicio 2: polinómica, racional, raíz quinta, varias definidas trigonométricas/exponenciales, ln x y x cos x.
Ejercicio 3: Dos integrales mediante el cambio indicado
a) ∫_0^1 x/(1+x⁴)dx con t=x². b) ∫_0^3 2^x/(1+2^x)dx con t=1+2^x.
Ejercicio 4: Áreas limitadas por siete pares de curvas
Calcular el área de las regiones: a) y=4−x² y y=x²−1. b) y=x² y y=√x. c) x−2y+1=0 y y²=x+1. d) x=y²+4y y x=0. e) y=2−x² y y=−x. f) y=x³−4x²+3x y y=0. g) y=1−|x|, y=0, x=−1, x=1.
Ejercicio 5: Beneficio total a partir de un ritmo t²
Un negocio tiene ritmo de beneficios t² millones/año para 0<t<4, compatible con los hitos del enunciado. Estimar el beneficio total en cuatro años.
Ejercicio 6: Disminución de coste total desde el coste marginal
C′(Q)=3Q²−18Q+30. Hallar la disminución del coste cuando la producción se reduce de 12 a 3.
Ejercicio 7: Ventas totales a partir de una tasa temporal
f(t)=10−7e^(−t), t≥0, es la tasa de ventas diaria. Hallar ventas totales en los cinco primeros días.
Ejercicio 8: Reconstruir la función de consumo desde el consumo marginal
C′(y)=0,6+0,1y^(−1/3) y C(0)=45 (consumo autónomo). Hallar C(y).
Ejercicio 9: Función de ahorro desde el ahorro marginal
S′(y)=0,5−0,2y^(1/2). Hay desahorro de 3,5 u.m. cuando y=25, es decir S(25)=−3,5. Hallar S(y).
Ejercicio 10: Coste total a partir de C′(Q)=12e^(0,5Q)
Coste marginal C′(Q)=12e^(0,5Q) y costes fijos 36. Hallar C(Q).
Ejercicio 11: Beneficio de seis meses desde una tasa exponencial de ventas
f(t)=10e^(0,03t) millones de u.m./mes. Calcular beneficio en primeros 6 meses si beneficio=10% de ventas−costes y costes totales=300.000 u.m.
Ejercicio 12: Tasa media de ventas en [3,5]
f(t)=5(1−e^(−t)). Calcular su valor medio en [3,5].
Ejercicio 13: Velocidad media del tráfico entre la 1 y las 6
S(t)=t³−10t²+30t+10 km/h, con t horas después del mediodía. Calcular velocidad media entre 13:00 y 18:00 (t=1 a 6).
Ejercicio 14: Ventas promedio trimestrales y anuales de un producto estacional
S(t)=74,5+43,75sen(πt/6), en miles de unidades. Hallar ventas promedio del primer trimestre, segundo trimestre y año completo.
Ejercicio 15: Coste anual de gasolina con precio creciente
p(t)=1+0,1t+0,02t² €/l, t=0 en 2013. Un coche recorre 15.000 km/año y M km/l. Coste del año t: (15000/M)∫_t^{t+1}p(u)du. Hallar 2015 y 2020.
Ejercicio 16: Excedentes del consumidor y productor en tres mercados
Para tres pares demanda/oferta: a) p=113−q_d², p=(q_s+1)². b) p=1000−0,4q_d², p=42q_s. c) p=110−3q_d², p=14q_s²+35. Hallar equilibrio y excedentes gráfica y analíticamente.
Ejercicio 17: Coste total con coste marginal definido a trozos
C′(q)=10−q/20 para 0≤q≤100 y C′(q)=3+q/50 para q≥100. Coste fijo 300. Calcular ∫₀¹⁵⁰C′(q)dq e interpretar; hallar C(150).
Ejercicio 18: Beneficio marginal medio e instante en que coincide con la media
B′(t)=10000/(2t+1)³ en [0,10]. Calcular el beneficio marginal medio en [4,9] y el instante en que B′(t) coincide con esa media.
Ejercicio 19: Excedentes con oferta a trozos y demanda racional
S(p)=0 si p<5 y S(p)=31+2√(p−5) si p≥5; D(p)=1000/(p+4)−1. a) Comprobar p_e=21. b) Hallar el precio de demanda nula. c) Calcular excedentes del consumidor y productor.