Calculadora de derivadas paso a paso

¿Qué es una derivada?

La derivada mide la tasa de variación instantánea de una función. Geométricamente, f′(x) describe la pendiente de la recta tangente y permite estudiar cómo cambia una función, dónde crece o decrece y en qué puntos puede alcanzar máximos o mínimos.

Calculadora de derivadas implícitas

Para una ecuación escrita como F(x,y)=0, la derivación implícita permite calcular la pendiente de la curva sin despejar y. Cuando la derivada parcial respecto de y no es cero, puede expresarse como dy/dx = −F_x/F_y. La calculadora muestra las parciales utilizadas y simplifica el resultado.

Calculadora de derivadas paramétricas

En una curva paramétrica x=x(t), y=y(t), la primera derivada es dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). La herramienta también obtiene la segunda derivada paramétrica mediante la derivación respecto de t de dy/dx y una nueva división por dx/dt.

Jacobiano y matriz Hessiana

La matriz Jacobiana contiene las derivadas parciales de un sistema de funciones respecto de sus variables. La matriz Hessiana contiene las segundas derivadas parciales de una función escalar. Ambas son herramientas fundamentales en optimización, cálculo multivariable, economía matemática, estadística e ingeniería.

Máximos, mínimos, crecimiento y concavidad

El modo Estudio calcula f′(x) y f″(x), busca puntos críticos e inflexiones reales dentro del intervalo seleccionado y analiza el signo de las derivadas entre esos puntos. Los resultados numéricos se presentan como ayuda al estudio y deben interpretarse respetando el dominio de la función.

Funciones a trozos, comparación y cuaderno de cálculos

La suite integra el análisis de funciones definidas a trozos, el comparador de funciones y un cuaderno local exportable. La v1.2 mantiene el editor matemático asistido de la v1.1 y añade comprobación de respuestas, derivación desde datos, funciones a trozos mejoradas, Padé, convexidad, optimización global y ejercicios autocorregibles.

Cálculo multivariable, optimización y análisis avanzado

La suite incluye condiciones KKT, Hessiana bordeada, Laplaciano, Newton para sistemas, geometría de Frenet y economía matemática avanzada. También incorpora un analizador automático que recomienda las herramientas más adecuadas según la estructura de la expresión introducida.

Derivadas laterales y puntos no derivables

Una función es derivable en un punto cuando es continua y las derivadas por la izquierda y por la derecha existen, son finitas y coinciden. La calculadora compara ambas aproximaciones para detectar esquinas, cúspides, tangentes verticales y discontinuidades.

Optimización con multiplicadores de Lagrange

Para optimizar una función f(x,y) sujeta a una restricción g(x,y)=0, el método de Lagrange busca puntos donde los gradientes son paralelos. La herramienta construye las ecuaciones, busca candidatos y compara el valor de la función objetivo cuando obtiene soluciones reales.

Curvas de nivel, superficies y gradiente

Las curvas de nivel reúnen puntos con el mismo valor de f(x,y). El gradiente es perpendicular a estas curvas y apunta hacia el máximo crecimiento local. La vista de superficie y nivel permite relacionar visualmente la derivada con la geometría de una función de dos variables.

KKT, Hessiana bordeada y optimización restringida

Cuando existen restricciones de igualdad o desigualdad, las condiciones KKT organizan factibilidad, estacionariedad, complementariedad y signo de los multiplicadores. Para una igualdad regular en dos variables, la Hessiana bordeada aporta información local adicional sobre la curvatura restringida.

Laplaciano, segundo orden y función implícita

La Hessiana también permite calcular derivadas direccionales de segundo orden mediante uᵀHu. Su traza es el Laplaciano Δf. Además, el teorema de la función implícita permite comprobar cuándo una ecuación F=0 define localmente una variable como función de las demás.

Newton para sistemas y geometría de Frenet

Newton multivariable sustituye la derivada escalar por el Jacobiano para aproximar soluciones de sistemas no lineales. En curvas paramétricas, el triedro de Frenet reúne vector tangente, normal y binormal, junto con curvatura, radio de curvatura y torsión.

Derivadas aplicadas a economía

Las derivadas permiten calcular coste marginal, ingreso marginal, beneficio marginal, producto marginal y elasticidad puntual. En una función f(x), la elasticidad puede expresarse como E=x·f′(x)/f(x), con el signo adaptado al análisis de demanda.

Métodos numéricos: Newton-Raphson, bisección y secante

Cuando una raíz no puede obtenerse de forma elemental, los métodos numéricos generan aproximaciones sucesivas. Newton-Raphson utiliza la derivada, bisección conserva un intervalo con cambio de signo y secante aproxima la derivada mediante dos valores previos. La calculadora muestra iteraciones, error y criterio de parada.

Funciones y campos vectoriales

Para una función vectorial r(t) se calculan velocidad, aceleración, rapidez y curvatura. Para un campo F(x,y,z) se calculan divergencia y rotacional, junto con su evaluación en un punto cuando es posible.

Economía avanzada y Cobb-Douglas

Además de las magnitudes marginales, el plugin permite estudiar candidatos a maximización del beneficio, elasticidad arco y funciones Cobb-Douglas mediante productos marginales, elasticidades parciales y rendimientos a escala.

Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy

El modo Teoremas calcula los valores de los extremos, analiza de forma orientativa posibles discontinuidades y busca los puntos interiores c que satisfacen Rolle o los teoremas del valor medio. En Cauchy se introduce además una segunda función g(x).

Diferencial total y aproximación lineal

Para funciones de varias variables, el diferencial total combina las derivadas parciales con pequeños incrementos. La calculadora evalúa df, estima el nuevo valor de la función y, cuando es posible, compara esa estimación con el valor real para mostrar el error absoluto.

Optimización multivariable e informe completo

El modo de optimización evalúa gradiente y Hessiana en funciones de dos o tres variables y utiliza los signos de los autovalores numéricos para clasificar puntos estacionarios. El modo Informe reúne raíces, discontinuidades, asíntotas, derivadas, extremos, concavidad, inflexiones y una aproximación local de Taylor.

Taylor multivariable

Para funciones de dos variables, el desarrollo de Taylor utiliza derivadas parciales puras y mixtas alrededor de un punto. La calculadora construye automáticamente los términos hasta orden 2 o 3, incluyendo coeficientes factoriales y potencias de los desplazamientos.

Análisis de sensibilidad y propagación de incertidumbre

Las derivadas parciales cuantifican la sensibilidad local de una salida respecto de cada entrada. A partir de incertidumbres absolutas, la herramienta calcula una cota lineal de peor caso, una combinación cuadrática RSS y la contribución aproximada de cada variable.

Tangentes y normales a curvas y superficies implícitas

En una curva F(x,y)=0, el gradiente es normal a la curva y permite obtener la recta tangente. En una superficie F(x,y,z)=0, el gradiente define el vector normal y el plano tangente en un punto regular.

Tasas relacionadas

Los problemas de tasas relacionadas derivan una relación respecto del tiempo aunque las variables estén conectadas implícitamente. La calculadora aplica la regla de la cadena y despeja la tasa desconocida a partir de una tasa conocida y un punto.

Reglas para calcular derivadas

Cómo usar la calculadora de derivadas

1. Elige el tipo de derivada o análisis.
2. Introduce la función, ecuación o sistema siguiendo la sintaxis indicada.
3. Selecciona las variables y, cuando corresponda, un punto o intervalo.
4. Pulsa Calcular para obtener el resultado, los pasos, la interpretación y la gráfica cuando sea aplicable.

Ejemplos

Novedades de cálculo avanzado en la versión 1.2

Preguntas frecuentes sobre derivadas

También puedes utilizar nuestra calculadora de integrales para resolver primitivas e integrales definidas.