63 ejercicios de optimización resueltos paso a paso
Optimización libre y condicionada, Lagrange, Kuhn-Tucker, Hessiano orlado, sensibilidad y aplicaciones económicas. El enunciado permanece visible y cada solución completa se abre dentro de su ficha.
Estado: 63/63 ejercicios únicos incorporados · 63/63 soluciones desarrolladas · 62 verificadas y 1 con doble interpretación documental declarada. Las fuentes visuales se archivan exclusivamente en administración.
Optimización libre
Enunciado
Entre las 18:00 y las 24:00, la audiencia viene dada por S(t)=660−231t+27t²−t³, donde t son horas transcurridas desde las 12:00. Determinar las horas de audiencia máxima y mínima y los porcentajes correspondientes.
Enunciado
Ingreso I(x)=−2x²+60x y coste C(x)=20x. Determinar x que maximiza B(x)=I(x)−C(x).
Enunciado
Para 2≤x≤5 (x en miles de unidades): I(x)=−(11/54)x²+(235/100)x−28/27 y C(x)=(3/4)x+1. Hallar x que minimiza coste, maximiza ingreso y maximiza beneficio.
Enunciado
Sueldo fijo 100000 u.m.; comisión 2660x−0,2x³; gastos 20000 u.m. fijos y 500 u.m. por póliza. Hallar el número de pólizas que maximiza la ganancia.
Enunciado
Obtener los puntos críticos de: a) z=xy−x²y−xy². b) z=x³+y³−3xy. c) z=x³−6xy+3y²−24x+4. d) z=(x−y+1)².
Enunciado
f(x,y,z)=(1/3)x³+2y²+z²−2xy+3xz−(131/16)x+4y−9z+1. Comprobar que A=(13/4,5/8,−3/8) y B=(9/4,1/8,9/8) son críticos y clasificarlos como máximos, mínimos o silla, local/global.
Enunciado
Determinar y clasificar extremos relativos de: a) z=x³+xy²−4x−2y. b) eˣ+eʸ+eᶻ−(x+y)=3 (z definida implícitamente). c) z=x+2y+yu−y²−x²−u². d) z=x³+x²y−z³−4y (z definida implícitamente).
Enunciado
Clasificar todos los puntos críticos obtenidos en el ejercicio 5.
Enunciado
a) Hallar los óptimos de f(x,y)=(x+y)e^{−(x+y)}. b) Proponer una restricción que haga inadmisibles los puntos óptimos del apartado a).
Aplicaciones económicas de optimización
Enunciado
La producción satisface 16z=65−2(x−5)²−4(y−4)². El capital x cuesta 8 u.m., el trabajo y cuesta 4 u.m. y el producto se vende a 32 u.m. por unidad. Determinar el beneficio máximo.
Enunciado
C₁=2q₁²+4, C₂=6q₂²+8, p=88−4Q y Q=q₁+q₂. Hallar la producción total y por fábrica que maximiza el beneficio, el precio y el beneficio máximo.
Enunciado
Demandas: q₁=15−0,5p₁, q₂=10,5−0,25p₂, q₃=16−0,2p₃. Coste C=32+10(q₁+q₂+q₃). Calcular las producciones que maximizan el beneficio.
Enunciado
Maximizar U(x,y)=x^(1/3)y^(1/2) sujeto a 2x+3y=M, x≥0, y≥0, con M>0. Resolver y justificar la globalidad.
Aplicaciones geométricas de optimización
Enunciado
Una hoja debe contener 18 cm² de texto. Márgenes superior e inferior: 2 cm cada uno; laterales: 1 cm cada uno. Hallar dimensiones de la hoja de área mínima.
Enunciado
Caldera cilíndrica de volumen 10 m³. Pared lateral: 20 u.m./dm²; fondo y tapa: 30 u.m./dm². Hallar el radio que minimiza el coste.
Enunciado
Campo rectangular junto a un río, sin cerca en el lado del río. La cerca cuesta 20 u.m./m y hay 20000 u.m. Hallar dimensiones de área máxima.
Enunciado
Los ríos se aproximan por y=x² y x−y−2=0. Hallar los puntos de ambas curvas que deben unirse mediante el canal rectilíneo de menor longitud.
Teoría de optimización
Enunciado
Razonar siete afirmaciones sobre: signos de fxx y fyy, gradiente nulo, puntos críticos, óptimos restringidos frente a libres y papel de los puntos críticos de la Lagrangiana y de la función objetivo.
Enunciado
Razonar siete afirmaciones sobre condiciones de primer orden, clasificación de críticos, sustitución con restricciones, mínimos globales, un problema xy con y=g(x), una función cuártica y la relación entre óptimos restringidos y no restringidos.
Optimización condicionada
Enunciado
Calcular extremos: a) z=xy, x²+y²=8. b) z=eˣ+eʸ, x+y=10. c) z=(x−1)²+y², y²=4x. d) z=√(x²+y²), x+y=2. e) z=x²+y², x²+y=1.
Enunciado
Estudiar los extremos de f(x,y,z)=x−2y+2z sujeto a x²+y²+z²=9.
Enunciado
Hallar los extremos de z=−1/x+1/y con 1/x²+1/y²=1/2. Sugerencia: u=1/x, v=1/y.
Enunciado
Determinar extremos relativos de U=xy+xz+yz sujeto a xyz=1.
Enunciado
Determinar extremos relativos de U=xyz sujeto a 1/x+2/y+3/z=1.
Enunciado
f(x,y,z)=ln x+ln y+3ln z sobre x²+y²+z²=5, con x,y,z>0. Estudiar extremos.
Enunciado
Q=L²+K²+T², con L+K+T=6, L−K−T=1 y 0<K,T<5/2. Hallar los niveles mínimos de producción.
Enunciado
A) Optimizar z=x²+(y−3)² libremente. B) Mismo objetivo con x+y=1. C) Además x,y≥0. Decidir en cada paso si la solución anterior sigue siendo válida y resolver cuando no.
Economía matemática
Enunciado
U=2 ln x+ln y, restricción presupuestaria M=2x+4y. Hallar x e y que maximizan la utilidad.
Enunciado
Q=4K^{1/2}L^{1/2}, C=2K+8L. Hallar K,L de coste mínimo para Q=32, con K,L>0.
Enunciado
Q(L,K)=50L^{2/3}K^{1/3}. Costes unitarios: 100 para L y 300 para K. Presupuesto total 45000. a) Hallar L,K que maximizan Q. b) Comprobar la igualdad entre cociente de productividades marginales y cociente de costes.
Enunciado
Coste C=x²+xy+y²+190. Demandas: x=63−0,25p_x e y=60−(1/3)p_y. Hallar niveles de producción, precios óptimos y beneficio máximo.
Enunciado
Beneficio B(x,y)=2x³+y³ y restricción de transformación x²+y²=100. Hallar cantidades que maximizan el beneficio y el beneficio máximo.
Enunciado
r₁(x₁)=20x₁−x₁², r₂(x₂)=10x₂−x₂². Hay 13 unidades de factor que deben consumirse totalmente. Hallar asignación y rendimiento máximo; decidir si conviene adquirir unidades adicionales a 5 u.m./unidad.
Enunciado
Q(x,y)=12x+y, C(x,y)=3x²+y². a) Minimizar coste para Q=49. b) Decidir si conviene producir una unidad adicional si se vende a 3 u.m.
Enunciado
P(x,y,z)=x³+6yz. Contratos: x+y=6 y z=2. Hallar producción que minimiza pérdidas, nivel mínimo y qué contrato convendría renegociar atendiendo al efecto marginal.
Enunciado
Renta 30. Utilidad U(x,y)=ln(xy²), x,y>0. Precios p y q de los bienes B₁ y B₂. Hallar el plan de compra racional.
Enunciado
Ingresos 40x²+100y². Recursos: cada cinturón usa 1 cuero y 2 horas; cada bolso 2 cueros y 1 hora. Disponibles 40 cueros y 50 horas. Hallar producción de ingreso máximo, ingreso máximo y valor marginal de una unidad adicional de cuero.
Enunciado
Hasta 60000 €; x e y son miles de euros en desarrollo y promoción. Ventas f(x,y)=20x^{3/2}y. Hallar reparto que maximiza ventas.
Enunciado
q(x,y)=40x+60y−x²−3y². Precios de factores: 1 y 2 u.m.; coste total no superior a 26. Hallar factores que maximizan producción y estimar el cambio de producción máxima con 1 u.m. adicional de presupuesto.
Enunciado
U=x²y. Precios: 2 para x y 4 para y; renta máxima M. Hallar x,y de utilidad máxima y demostrar que se utiliza toda la renta.
Enunciado
Ventas V=(x+2)(y+1), donde x es número de anuncios en prensa e y minutos en TV. Costes: 20000 por anuncio y 50000 por minuto; presupuesto 2550000. Hallar política publicitaria óptima.
Enunciado
Ventas S=200x/(5+x)+100y/(10+y). Beneficio neto = S/5 − coste de promoción. Presupuesto para publicidad: 25. Hallar la asignación óptima entre ambos medios.
Enunciado
Producto 1: precio p₁=100−x para x toneladas. Producto 2: precio constante 50 para y toneladas. El país limita x+y≤30; se sabe que x≥0 no es activa en el óptimo. Maximizar ingresos.
Enunciado
C(x,y)=−x+(y−1)²+10 y Q(x,y)=x²+(y−1)². Con x,y>0, minimizar coste para Q=9; decidir globalidad y analizar si un pequeño aumento de producción disminuiría el coste.
Enunciado
P(x,y)=xy. a) Obtener P=50 minimizando contaminación I=10x+5y, usando ambos factores. b) Maximizar P con coste C=3x+2y≤120. c) Estimar la nueva producción máxima con coste máximo121.
Enunciado
C=x²+2x+y²+2z+100. Demandas: 2x+8y+6z=204 y 2x+4y+2z=92. Sin no negatividad: hallar producción de coste mínimo, coste/globalidad y efecto aproximado de +2 unidades de demanda en sólo uno de los mercados.
Enunciado
Costes unitarios: 10 y 20. Demandas: x₁=p₂−p₁; x₂=60+p₁−3p₂. a) Precios que maximizan beneficio. b) Cantidades que minimizan coste para ingreso225. c) Variación del coste mínimo si el ingreso objetivo baja10.
Enunciado
B(x₁,x₂,x₃)=x₁³−(1/2)x₂²+x₃+10 (miles de euros). Contrato: x₁=2 y x₂=x₃. a) Maximizar beneficio. b) Valor máximo por tonelada adicional de materia1 que convendría pagar. c) Confirmar el tipo de óptimo.
Enunciado
Q(x,y)=xy (miles de unidades), objetivo de producción Q=8. Costes C=2x+4y (miles de €). Además x+y≤9 y x,y>0. Plantear min/max, resolver por Lagrange/Hessiano, decidir globalidad, hallar peor decisión y estimar coste mínimo si Q aumenta a8,5.
Enunciado
Presupuesto total14000 €; x,y,z son miles de euros. Rentabilidades esperadas 50%,100%,150%. Riesgo R=2x²+y²+3z². Invertir todo y obtener rentabilidad esperada15000 €. Hallar cartera de riesgo mínimo y riesgo; estimar cómo cambia el riesgo si aumenta el presupuesto1000 € o si baja la rentabilidad objetivo1000 €.
Kuhn-Tucker
Enunciado
f(x,y)=(x−y)² en R={(x,y): (x−1)²+(y−2)²≥1; y≥(x−1)²; y≤5}. Analizar mediante condiciones de primer y segundo orden los puntos A=(2,2), B=(3/2,1/4) y C=((2−√2)/2,(4+√2)/2), y concluir sobre su optimalidad.
Enunciado
Resolver y clasificar globalmente cuando sea posible ocho problemas: a) max y−x con x²+y²≤2 y y=x²; b) max x con y≥x² y y≤x+2; c) min distancia cuadrática a (4,4) con x≤3,y≥x−2; d) max e^{−x}, x≥0; e) max x+2y, xy=1,x−y≤2,x≥0; f) max x²−2y, x²+y²=16,x+y≥4; g) min (x−1)²+y²+z², x+y−2z²≤0; h) max x+yz, x²+y²+z²≤1.
Enunciado
Razonar ocho afirmaciones sobre candidatos KKT, globalidad, restricciones activas, un problema con elipse, maximización sobre la bola, precio sombra en un problema lineal y un problema con x³+6y≤8.
Enunciado
Optimizar z=x−y sujeto a y=(x−3)² y (x−3)²+(y−2)²=8. Después estudiar el cambio si la primera restricción pasa a y≤(x−3)².
Enunciado
Optimizar F=x²+y² sujeto a x+y≤1, x≥0, y≥0. Estudiar la globalidad de los óptimos.
Enunciado
C=2x+2y, x²+y²=4 y 2x+y≥4. Ignorar no negatividad explícita. Hallar candidatos, clasificarlos local/globalmente, coste mínimo y máximo, sensibilidad si la demanda pasa a 2x+y≥4,1 y confirmar el máximo con Hessiano orlado.
Enunciado
Optimizar z=x+4y sujeto a xy≤1, x−y=2 y x≥0. a) KKT. b) Candidatos. c) Máximos y mínimos locales. d) Globalidad en región cerrada y acotada.
Enunciado
Ingresos 3x+4y, con 9x²+4y²≤18000 y x,y≥0. Se sabe que no negatividad no es activa. Hallar candidato, confirmar con Hessiana/Hessiano orlado y estimar cambio si el límite pasa de18000 a18002.
Enunciado
C(x,y)=18x²−xy+12y². La empresa debe producir al menos62 toneladas: x+y≥62. Ignorar no negatividad. Formular, estudiar acotación/existencia, resolver por KKT, confirmar con Hessiano orlado y estimar el coste si el mínimo exigido aumenta una tonelada.
Programación lineal
Enunciado
Mina A cuesta 3 millones/día y produce (alta,media,baja)=(2,1,0,5). Mina B cuesta 2 millones/día y produce (1,1,1). Demandas mínimas: (14,10,6). Formular y resolver el coste mínimo; comprobar el candidato A=4 días, B=6 días y su globalidad.
Enunciado
Barco A: 60 cabinas de lujo y 160 estándar. Barco B: 80 de lujo y 120 estándar. Se requieren al menos 360 cabinas de lujo y 680 estándar. Dos versiones del mismo ejercicio aportan escenarios de coste distintos: (I) A=50000 €, B=55000 €; (II) A=40000 €, B=53000 €. Formular y resolver gráficamente ambos problemas y comprobar si en el óptimo quedan activas las dos restricciones de capacidad.
Enunciado
Dos procesos: A usa (trabajo,químico)=(1,2) y produce 3 botellas; B usa (2,3) y produce 5. Recursos máximos: 200 trabajo,350 químico. Costes unitarios: 10 y 15; precio 30 €/botella. Publicidad con modelo: 500 €/h, máx.25 h. Opción a: demanda base1000, +200 botellas/h. Opción b: base390,+40/h. Formular ambos modelos y condiciones de primer orden.
Optimización condicionada · Lagrange
Enunciado
Una herencia H debe distribuirse entre tres hermanos. Los impuestos pagados por cada uno son proporcionales a su edad y al cuadrado de la cantidad recibida. Determinar, en función de las edades, qué parte de H debe recibir cada hermano para minimizar el impuesto total.