Ejercicios de matrices y determinantes resueltos paso a paso
Operaciones con matrices, determinantes, rango, inversas, demostraciones, Leontief y aplicaciones. El enunciado permanece visible; cada ficha individual contiene la solución completa en un desplegable.
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Matrices
Enunciado
Dadas A=[[2,1],[3,4]], B=[[0,-3],[6,1]] y C=[[1,1,0],[0,-1,2],[4,0,3]], realizar cuando sea posible: A+B, A-B, A-C, 3C y (-1)C.
Enunciado
Comprobar si están definidos y calcular los productos: a) (1,2,3)(-1,0,3)^T; b) (-1,0,3)^T(1,2,3); c) (a,b,c)(x,y,z)^T; d) (x,y,z)^T(a,b,c); e) [[1,2,3],[4,3,2]](1,2,4)^T; f) (1,2,4)^T[[1,2,3],[4,3,2]]; g) [[2,4],[-1,-2]][[0,2],[0,-1]]; h) producto inverso; i) producto simbólico 2×3 por 3×2; j) forma cuadrática (x,y)A(x,y)^T.
Enunciado
Demostrar que [[1,0,0],[2,1,0],[3,0,2]]·(0,0,a)^T = 2·(0,0,a)^T para todo a∈R.
Enunciado
Probar que para D=diag(a,b,c) y m∈R/natural cuando la potencia esté definida, D^m=diag(a^m,b^m,c^m).
Enunciado
Escribir: a) A=(aij)3×3, aij=1 si i≠j y 0 si i=j; b) A=(aij)2×3, aij=(-1)^(i+j); c) A=(aij)3×2, aij=i-j.
Enunciado
Con x1=y1+3y2, x2=2y1-y2; y1=4z1+z2, y2=-3z1+2z2; z1=-3t1-t2, z2=5t1+2t2, expresar x1,x2 en función de t1,t2 mediante cálculo matricial.
Enunciado
Para A=[[1,0,0],[0,-4,10],[0,-3,7]], calcular A² y demostrar A²-3A+2I=0.
Enunciado
Dada M=[[1,0,1],[0,0,0],[1,0,1]], demostrar M^5=2^4 M y generalizar M^n.
Enunciado
Con A=[[1,2],[0,3]], B=[[-1,4],[-2,2]], C=[[1,1,0],[0,-1,2],[4,0,3]], D=[[3,1,1],[3,0,3],[5,1,2]], calcular: 2A, A+B, AB, |A|, A^-1, |C|, rg(C), |3D|, |C²|, |C^-1|, D^-1 y |C^-1D|.
Enunciado
Determinar u y v para que sean iguales A=[[(1-u)^2,v^2,3],[v,2u,5],[6,u,-1]] y B=[[4,4,u],[v,-3v,u-v],[6,v+5,-1]].
Enunciado
Para A=[[0,1,-1],[2,3,7]] y B=[[1,-1,5],[0,1,9]], calcular A-B y 5A-3B.
Determinantes
Enunciado
Probar que toda A=[[a,b],[c,d]] cumple A²-(a+d)A+(ad-bc)I=0.
Enunciado
Calcular: a) |-9|; b) det[[1,-1],[2,3]]; c) det de [[1,2,0,1],[-3,0,1,2],[0,3,2,1],[0,-1,0,4]]; d) “determinante” de [[1,1,1],[2,2,2]]; e) det de la matriz 5×5 del enunciado.
Enunciado
Demostrar sin desarrollar que det[[a,b,c],[a+h,b+h,c+h],[a+2h,b+2h,c+2h]]=0.
Enunciado
Para A=[[2,6,7],[5,12,4],[3,18,9]], comprobar sin desarrollar que det(A) es múltiplo de 9.
Enunciado
Comprobar sin desarrollar: a) det[[3,15,1],[5,25,0],[1,5,7]]=0; b) det[[2,7,11],[4,5,13],[1,2,4]]=0.
Enunciado
Reducir det[[1,4,8,12],[2,0,1,2],[5,2,1,2],[3,1,4,3]] a un único determinante de orden 3.
Enunciado
Demostrar det[[1,1,1],[a,b,c],[a²,b²,c²]]=(b-a)(c-a)(c-b).
Enunciado
a) Para A=[[3,1],[0,2]], hallar ax²+bx+c=|A-xI|. b) Para la matriz n×n con x² en la diagonal y a fuera de ella, generalizar el determinante (el caso n=5 aparece en el enunciado).
Enunciado
Sea B_n el determinante tridiagonal con 3 en la diagonal, 1 en la superdiagonal y 2 en la subdiagonal. Demostrar B_n=3B_(n-1)-2B_(n-2), y verificar B5=3B4-2B3.
Enunciado
Calcular mediante una partición adecuada los determinantes de las dos matrices 5×5 A y B indicadas en el enunciado.
Enunciado
Calcular, si existe, el determinante de las matrices particionadas del enunciado: A (5×5), B (5×5) y C=[[3,-2,7,10],[4,1,4,-5],[0,0,3,-3],[0,0,4,7]].
Enunciado
Calcular qué puede afirmarse sobre |A| si: a) A²=A; b) A^T A=I.
Enunciado
Para A∈M_n(R), determinar |A| si: a) A²=A; b) A^T A=I; c) existe m con A^m=0.
Enunciado
Sea A∈M_n(R). Hallar |λA| en función de |A| para λ∈R.
Enunciado
Elegir cuál afirmación es correcta entre: intercambio de filas conserva determinante; sumar una fila a otra lo conserva; columna nula hace que no exista; escalar toda A por λ multiplica sólo por λ; y una fórmula de escalado con exponente arbitrario.
Enunciado
Indicar qué propiedad no es cierta: a) una línea nula hace nulo el determinante; b) matrices distintas pueden tener igual determinante; c) relación recíproca entre el determinante de una matriz regular y el de su inversa; d) det(A+B)=det(A-B) para cualesquiera A,B cuadradas del mismo orden.
Enunciado
Calcular det([[1,2,3,5],[0,1,2,3],[0,0,-1,-1],[0,1,1,2]]) y elegir entre 1, 0, -1 o ninguno.
Enunciado
Calcular en función de t los determinantes de A=[[t,2t-1,3,1],[1,1,1,1],[0,-1,0,1],[3,5,3,9]] y B=[[2,1,1,1-t],[t,0,0,1],[2,1,1,0],[1,1,0,0]].
Enunciado
Calcular, simplificando previamente: D1=det([[x,x,x],[x,a,a],[x,a,b]]) y D2=det([[0,1,1,1],[1,0,1,1],[1,1,0,1],[1,1,1,0]]).
Enunciado
Sea A=[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]] con det(A)=3. Decidir cuál de las tres igualdades propuestas para determinantes transformados es correcta.
Enunciado
Sean A y B matrices cuadradas no nulas con B²=AB. Decidir si necesariamente |A|=|B| y analizar las justificaciones propuestas en el enunciado.
Enunciado
Sean A y B matrices cuadradas n×n e invertibles. Decidir si det(A B^T A^-1)=det(B).
Rango de matrices
Enunciado
Demostrar rango 3 para A=[[2,3,1],[1,2,0],[3,5,3]], B=[[1,-2,1,-2],[-2,1,1,1],[1,1,-2,4]] y C=[[1,2,3,6],[2,3,5,10],[3,5,8,16],[4,2,6,12],[5,6,12,23]].
Enunciado
Calcular el rango de A=[[-3,0,1,0],[9,-1,-3,-5],[12,2,-4,10]], B=[[1,1,-3,2,1,5],[-1,-1,5,1,2,-3],[2,2,2,-3,4,-6],[-4,-4,6,2,-3,-2]], C=[[1,5,0],[2,10,0],[3,5,1]].
Enunciado
Para A=[[6,2,4,1],[2,0,1,2],[2,2,1,5],[3,1,4,3]], calcular determinante y rango mediante operaciones elementales.
Enunciado
Para A=[[a,0,0],[1,2a,1],[a,ab,2]], estudiar el rango según a,b∈R.
Enunciado
Para A=[[0,2,-1],[2,a,2],[2a,6,a+1]], calcular el rango según a y decidir cuándo es inversible; hallar la inversa cuando exista.
Enunciado
Calcular en función de x el rango de A=[[1,x,x^2],[1,2,4],[1,3,9]], B=[[-x,-1,0,1],[0,x,-1,1],[-1,0,-1,2]], C=[[1,x^2,x^3,x],[x,0,x^2,1],[0,0,1,0],[0,1,x,0]] y D=[[1,-1,0,-2],[1,2,-1,0],[2,0,-1,-1]].
Enunciado
Para A=[[1,2,3],[0,2,1],[1,0,x]], elegir la afirmación correcta entre: nunca singular; siempre regular; simétrica; si x=2 su rango es 2.
Enunciado
Para A=[[3,1,2],[1,0,1],[2,2,1]] y B=[[1,1,0],[0,-1,2],[-1,-1,-1]], decidir si rg(AB)=3 y justificar la respuesta.
Matriz inversa
Enunciado
Determinar si son inversibles y calcular la inversa de A=[[3,1,1],[2,0,2],[5,1,2]], B=[[2,-2,3],[1,0,-3],[3,4,0]], C=[[2,-1,-3,5],[3,2,-1,1],[-2,2,4,-3],[1,4,1,-2]].
Enunciado
Para A=[[1,0,3],[4,-2,1],[0,0,1]], calcular |A|, |A^-1|, A^-1, (A^T)^-1, |A^2|, A^2, |(A^-1)^3| y |A(A^T)^-1|.
Enunciado
Dadas A=[[-1,0,3],[4,6,0],[0,0,5]] y B=[[-1,4,0],[0,6,0],[3,0,5]]=A^T: a) calcular |A| de dos formas y decidir si existe inversa; b) |A^-1|; c) |B|; d) A^-1 y comprobar; e) B^-1 sin recalcular desde cero.
Enunciado
Si A²-A-I=0, demostrar que A es inversible y expresar A^-1 en función de A.
Enunciado
Suponiendo A y B regulares, despejar X en a) X^T A=B y b) (XA)^-1=A^-1B. Después calcular X para A=[[1,0,3],[4,-2,1],[0,0,1]] y B=[[0,1,2],[1,0,1],[1,1,1]].
Enunciado
Calcular, cuando exista, la inversa de A=[[1,a,1],[1,1,a],[a,1,1]], B=[[1,0,x],[-x,1,-x^2/2],[0,0,1]], C=[[1,0,-1],[0,x,3],[4,1,-x]] y D=[[1,0,0],[1,2,4],[1,3,9]].
Enunciado
Para A=[[3,1,2],[1,0,1],[2,2,0]], decidir si es invertible y valorar las tres justificaciones propuestas en el documento.
Modelo input-output de Leontief
Enunciado
Dada A=[[0.2,0.3],[0.5,0.3]], calcular (I-A)^-1.
Enunciado
Con la tabla de intercambios: filas sector1=(20,0,40), sector2=(40,40,100), sector3=(0,80,40), outputs (100,200,200). a) demanda final actual; b) matriz técnica; c) producción para demanda futura (70,50,120).
Enunciado
Economía de 3 sectores con transacciones [[89.6,118.9,1.3],[35.8,332.0,36.5],[16.2,69.9,76.4]], outputs (330.7,870.9,472.6). a) A; b) (I-A)^-1 e interpretar el elemento (1,2); c) producción para D=(125,738,547).
Enunciado
Para A=[[0.35,0.1,0.2,0.1],[0.65,0.2,0.1,0.05],[0,0,0.15,0.3],[0,0,0.4,0.25]] y producción X=(200,320,250,430), calcular la matriz de intercambios sectoriales y la demanda final máxima.
Enunciado
Para A=[[0.3,0.3],[0.4,0.5]], demostrar que los inputs primarios del sector 2 para satisfacer D=(40,60) son aproximadamente 50 unidades.
Enunciado
Para A=[[0.3,0.1,0],[0.1,0.5,0.2],[0,0.2,0.4]]: a) decidir si toda demanda D≥0 admite producción X≥0; b) hallar X para D=(55,49,18) sin calcular la inversa.
Propiedades de matrices
Enunciado
a) Si B^T tiene bloque superior izquierdo [[1,2],[3,4]] y |B|=4, comprobar si (B^-1)33=-1/2. b) Para A=[[1,2,a],[1,-1,-1]] y B=[[1,3],[a,0],[0,2]], decidir si AB es inversible para todo a.
Enunciado
Comprobar: (A^T)^T=A; (A+B)^T=A^T+B^T; (AB)^T=B^T A^T.
Enunciado
Para matrices cuadradas A,B del mismo orden: a) decidir cuándo (A-B)²=A²-2AB+B² y demostrar que esta igualdad equivale a AB=BA; b) decidir cuándo A²-B²=(A+B)(A-B).
Enunciado
Si A²=A: a) para B=2A-I, ¿B²=I? b) ¿A=I? c) si además |A|≠0, ¿A=I?
Enunciado
Decidir: a) antisimétrica de orden impar ⇒ |A|=0; b) antisimétrica de orden par ⇒ |A|=0; c) A A^T=A^T A=I ⇒ A inversible; d) A^10=I ⇒ A inversible; e) A^6=I ⇒ |A|=1; f) si A=-A^T, entonces su diagonal principal es nula y tr(A)=0.
Enunciado
Decidir: a) rg(AA^-1)=orden A; b) rg(A)=rg(A^T); c) rg(AB)=rg(A)+rg(B); d) AB=AC ⇒ B=C; e) A²=I ⇒ A=I.
Enunciado
Demostrar que para toda matriz cuadrada A, A+A^T es simétrica.
Enunciado
Si X,Y son simétricas, demostrar que XY es simétrica si y sólo si XY=YX.
Enunciado
Decidir: a) ((I-A)^-1)^T=(I-A^T)^-1; b) det[[ax,ay],[az,at]]=a·det[[x,y],[z,t]] para todo a; c) (A^T B^T)^-1=((BA)^-1)^T.
Enunciado
Decidir: a) A²=I implica A=I o A=-I; b) rg(AB)=rg(A)rg(B); c) no existen matrices no nulas A,B con AB=0.
Enunciado
Razonar las afirmaciones a)-i) del enunciado sobre rango máximo, A^T A, idempotencia, determinantes de productos inversos, Cayley-Hamilton 2×2, simetría de A^-1B^TA, |A^TA^-1|, traspuesta de (AB+A)^-1 y rangos de A²/A³.
Enunciado
Demostrar que si AC=CA y BC=CB, entonces (AB)C=C(AB).
Enunciado
Indicar cuál afirmación no es correcta: a) una matriz regular tiene determinante distinto de 0; b) el rango de una matriz 3×4 no supera 3; c) la inversa de la inversa es la matriz original; d) una matriz y su traspuesta pueden tener distinto determinante.
Aplicaciones económicas
Enunciado
Inventario A=[[9,19,8],[14,21,12],[10,19,8]] (filas: televisores, MP3, tabletas; columnas: tiendas). a) Con precios P=(200,50,100), hallar el valor M de cada tienda. b) Si M=(4275,8130,3660), hallar los precios.
Enunciado
Tres atletas tienen puntuaciones [8,7,6,5,6], [6,4,6,3,10], [9,6,7,2,5]. Tres jurados usan pesos [2,2,2,2,2], [1,3,2,2,2] y [1.5,2,3.5,1.5,1.5]. Obtener todas las puntuaciones finales mediante matrices.
Enunciado
La primera tienda almacena A=[[20,50,42],[34,28,40],[16,12,8]]. La segunda almacena 2A, la tercera A/2 y la cuarta 3A. Hallar el volumen total almacenado matricialmente.
Enunciado
Producción mensual por modelo y acabado GX/GI: A=(250,300), B=(150,170), C=(320,450). GX requiere (20,10) horas de chapa/montaje y GI (30,15). Calcular horas necesarias para cada modelo.
Enunciado
Envíos (filas productos, columnas países) M=[[200,310,540],[195,108,220],[155,178,145]] toneladas. Valores unitarios de los productos: 50,45,70 u.m. Calcular valor recibido por cada nación y total.
Enunciado
Productos A,B son materias primas. C requiere 2A+1B; D requiere 2C+1A+1B. i) requerimientos A,B para 1D; ii) matriz de requerimientos directos y niveles; iii) relación R(I-M); iv) requerimientos totales para demanda (30,20,40,50); v) coste con C=(5,10,15,20).
Aplicaciones matriciales
Enunciado
G1,G2,G3 comunican con P1,...,P4 mediante A=[[0,1,0,0],[1,0,1,1],[0,0,1,1]]. Los P comunican con Q1,Q2,Q3 mediante B=[[1,1,1],[0,0,1],[1,0,0],[0,1,1]]. Determinar qué Q reciben mensaje de cada G y por cuántas vías.
Enunciado
Representar con una matriz las conexiones bidireccionales de la figura entre Icod, Puerto de la Cruz, La Orotava, La Laguna, S/C de Tenerife y Los Cristianos, y calcular cuántas formas hay de ir de S/C Tenerife a Icod pasando por dos puntos intermedios.
Enunciado
Tres tiendas tienen existencias de camiones, furgones, coches y motos: T1=(10,15,9,8), T2=(20,14,8,5), T3=(30,13,7,2). Construir la matriz de existencias, actualizarla con el abastecimiento indicado, expresar un aumento del 50%, valorar cada tienda con precios (20,5,3,1) millones de ptas. y calcular una recaudación del 20% en T1-T2 y 25% en T3.